تطبيقات التحليل المركب في الهندسة .
سنركز اليوم على تطبيقات التحليل المركب في الهندسة ، و بصفة خاصة نظرية التحكم ، و كيف يتم إستعماله لتطوير تكنولوجيا أفضل.
فبغض النظر عن كون Transfer Functions عبارة عن دوال مركبة و الذي يجعل التحليل المركب عنصر أساسي في نظرية التحكم ، سنتطرق إلى تطبيقات أعمق له .
قبل أن نشرع في ذلك ، علينا أولا التعرف على موضوعين مهمين في التحليل المركب و هوما مبرهنة residues لكوشي و التحويلات التماثلية Conformal maps .
🔴مبرهنة Residues لكوشي :
تعد Residue theorem من أهم ما توصل له التحليل المركب ، و هي مبرهنة تتعلق بالتكاملات في المجال المركب و تنص على أن تكامل دالة مركبة meromorphic على مسار مغلق بسيط ( Simple closed Cantour ) هو مجموع residues الخاصة بالدالة جداء (2 π i ).
نقول على دالة مركبة meromorphic في حال كانت Analytic ( لها Taylor series )على كل مجموعة تعريفها ما عدا مجموعة من النقاط تسمى بنقاط التفرد او singularities .
بالنسبة ل Residues هي أعداد تستخرج من Laurents series expansion و التي تعد تعميم ل Taylor series في المجال المركب لدوال meromorphic.
للمزيد من المعلومات حول Cauchy residues theorem تفحصوا المصادر .
🔴تحويلات التماثلية او Conformal maps :
أغلبكم قد تعلم بعض طرق تحويل النقاط في المجال المركب في الثانوية من تشابه و إنسحاب و دوران و غيرها . و هذي التحويلات النقطية هي حالات خاصة من تحويلات أعم تسمى ب conformal maps .
التحويلات التماثلية هي أي دالة مركبة تحفظ الزاويا شكل معين أثناء تحويله ( و ليس بضرورة أن تحفظ أطواله او شكله ).
تعد Conformal maps موضوع دراسة مهم في التحليل المركب و هنالك عدة كتب تتكلم عنه بصفة خاصة.
الآن نمر لنرى كيف تساعدنا هته الأدوات التي يوفرها Complex Analysis في الحياة الواقعية .
🔴أهمية Residue theorem :
بعض النظر عن قدرتها في تبسيط التكاملات المعقدة ، تساعدنا المبرهنة في حساب تحويل لابلاس العكسي ( و لي راح نشرحوه بالتفصيل في منشور قادم ) و تعد الأرضية النظرية التي تبنى عليها طرق أخرى لحساب تحويل لابلاس العكسي ك Partial Fractions .
كما ذكرنا ، راح نشوفو أهمتها في نظرية التحكم ، و من أهم المواضيع التي تدرسها Control theory هي إستقرارية الأنظمة الفيزيائية ( راجع مقالنا حول الإستقرارية في التعليقات ) .
في القرن 19 ، طور كل من الرياضيتين Routh و Hurwitz طريقة لدراسة إستقرارية الأنظمة بإستعمال المصفوفات و الجبر الخطي و تسمى ب Routh-Hurwitz criteria .
و لكن في بداية القرن العشرين و مع زيادة تطبيق نظرية التحكم في الصناعات العسكرية ، واجه المهندسون مشكلة مع Routh-Hurwitz critetia و هي أنها تصير معقدة لما درجة النظام تزيد و تستهلك الوقت طويل .
جاء المهندس الأمريكي-السويدي Harry Nyquist الذي كان يعمل في مختبرات Bell و لاحظ أنه يمكنه إستعمال مبرهنة في التحليل المركب تسمى ب Cauchy argument principle - و التي تعتمد على residue theorem- في إيجاد طريقة أبسط و أسهل لتأكد من إستقرارية الأنظمة الفيزيائية.
توصل لنفس النتائج مهندسان ألمانيان بصفة مستقلة ، هوما felix stecker و siemens سنة 1930 و لكن المبرهنة تحمل إسم Nyquist في المجتمع العلمي .
لمعلومات أكثر حول Nyquist Stability criteria و برهان cauchy principle of argument تفحصوا التعليقات ، أما الآن ، فسنمر ل Conformal maps .
🔴أهمية Conformal maps في نظرية التحكم :
نحن نعيش في عصر الحواسيب ، و الحواسيب تستطيع التعامل مع الإشارات المتقطعة فقط ( متتاليات) و لهذا تم تطوير أدوات لدراسة هته الإشارات من Discrete Fourier Transform و Z transform و هو نظير Laplace Transform للإشارات المتقطعة .
و تختلف شروط الإستقرارية بين الأنظمة المستمرة و الأنظمة المتقطعة .
التعامل مع الأنظمة و الإشارات الرقمية يكون متعب في بعض الأحيان و من الأسهل دراستها كأنظمة مستمرة ، و لهذا وجب تحويل النظام إلى نظام مستمر .
من أجل تحقيق هذا المبتغى طور المهندسون تحويل يسمى ب Bilinear Transform للقفز بين Continuous Systems و Discrete systems .
يعد Bilinear Transformation حالة خاصة من Conformal maps و بالتحديد نوع من التحويلات يسمى ب Möbius transformations و فهم جيد ل Conformal maps سيعينك في نيل intuition عميقة لما يقوم به Bilinear transformation حقيقة .
تكمن أهمية Bilinear Transformation في قدرتنا على تصميم أنظمة مستمرة من Compensators و PIDs أو Filters و تحويلها إلى Digital systems و تطبيقها على الحواسيب بسهولة ، بالإضافة لتسهيل تحليل الأنظمة الرقمية كما ذكرنا الأعلاه.
🔴تطبيقات أخرى Conformal maps ؟
لتحويلات التماثلية تطبيقات أخرى ، أهمها في نظرية النسبية العامة و الهندسة التفاضلية Differential Geometey، بحيث تساعدما في القفز من Riemannian Manifold -أو معدد الشعب بالعربية - إلى manifold أخر (و هي عبارة عن فضائات طبولوجية).
كذلك تلعب Conformal maps دور مهم في حل المعادلات التفاضلية ،كمعادلات Maxwell في ديناميكا الكهربائية و معادلات حقل الجاذبية و غيرها التي يمكن وصفها بمعادلات لابلاس ( راجع مقالنا حول معادلات لابلاس ) .
تبين أننا قادرون على الحصول على حلول أخرى لتلك المعادلات من إخلال تحويلات تماثلية معينة .
فنعرف أن حلول معادلة لابلاس هي Harmonic Functions و ل conformal maps خاصية جميلة و هي أن صورة أي Harmonic Function هي Harmonic Function .
إلى هنا نصل إلى نهاية المقال ، نتأسف لعدم قدرتنا في الخوض في تفاصيل أعمق ، و لكن نأمل أن هذا المنشور قد ساعدكم في رأية أهمية Complex Analysis التطبيقية و نرجوا أن يكون حافزا لكم للبحث أكثر و في حال كنتم مهتمين نستطيع مراجعة بعض الكتب الجميلة في هذا الموضوع.
***********************
***********************
شكرا لك .. الى اللقاء
*
*
ليست هناك تعليقات: